從歐幾裡得（２２００年前）以來，數學家一般都是從
某些稱為“公理”的陳述出發，推導出各種有用的結論。
從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規則
的遊戲。第一，公理應當儘量少。如果你能從某一條公理推
匯出另一條公理，所麼，所推導出的那條公理就不能作為公
理。第二，公理必須是沒有內在矛盾的。絕不允許從某一公
理推導出兩個相互矛盾的結論。
任何一本中學幾何課本都要先列出一組公理：通過兩點
只能作一條直線；整體等於各個部分之和，等等。在很長一
段時間內，人們都把歐幾裡得的公理看作是唯一可用來建立
沒有內在矛盾的幾何學的公理，從而把這些公理看作是“真
公理”。
但是，到了十九世紀，有人證明瞭歐幾裡得的公理是可
以用某些方式來加以改變的，因而可以建立另外一種不同的
幾何學，即“非歐幾裡得幾何學”。這兩種幾何學雖然各不
相同，但每一種幾何學都不具有內在矛盾。從此以後，人們
如果要問哪一種幾何學是真幾何學，就沒有意義了。如果要
問，就只能問哪一種幾何學更有用些。
事實上，我們可以用許多組公理來建立幾種各不相同但
又各自並不具有內在矛盾的數學體系。
在任何一種這樣的數學體系中，你都必定不可能根據它
的公理推導出既是如此又非如此的結論，因為如果這樣的話，
這個數學體系就不可能不具有內在矛盾，就會遭到淘汰。但
是，徜若你能作出一種陳述，並且發現你不能證明它既是如
此又非如此的話，又將怎麼樣呢？
假如我說：“我現在所說的是假話”。
是假話嗎？如果是假話，那麼，我在說假話這件事就是
假的了，因此，我必定在說真話。如果我在說真話，那麼我
在說假話這件事就是真的了，因此，我確實在說假話。我可
以永無休止地來回這樣說，結果，將永遠無法證明我所說的
到底是如此，還是並非如此。
假如你能對這些邏輯公理進行調整，以排除上面所說的
這種可能性，那麼，你能不能找到另外的方法來作出這樣一
種既是如此，又非如此的說法？
１９３１年，一位奧地利數學家戈德爾終於提出一個有
力的證明，他指出，對於任何一組公理，你都能作出既不能
根據這些公理來證明事實確是如此，也不能根據這些公理來
證明事實確非如此的說法。從這個意義上講，任何人都不可
能建立出一種可以憑此推導出一個完美無缺的數學體系的公
理。
