從歐幾裡得（２２００年前）以來，數學家一般都是從
某些稱為“公理”的陳述出發，推導出各種有用的結論。
從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規則
的遊戲。第一，公理應當儘量少。如果你能從某一條公理推
匯出另一條公理，所麼，所推導出的那條公理就不能作為公
理。第二，公理必須是沒有內在矛盾的。絕不允許從某一公
理推導出兩個相互矛盾的結論。
任何一本中學幾何課本都要先列出一組公理：通过两点
只能作一条直线；整体等于各个部分之和，等等。在很长一
段时间内，人们都把欧几里得的公理看作是唯一可用来建立
没有内在矛盾的几何学的公理，从而把这些公理看作是“真
公理”。
但是，到了十九世纪，有人证明了欧几里得的公理是可
以用某些方式来加以改变的，因而可以建立另外一种不同的
几何学，即“非欧几里得几何学”。这两种几何学虽然各不
相同，但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后，人们
如果要问哪一种几何学是真几何学，就没有意义了。如果要
问，就只能问哪一种几何学更有用些。
事实上，我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但
又各自并不具有内在矛盾的数学体系。
在任何一种这样的数学体系中，你都必定不可能根据它
的公理推导出既是如此又非如此的结论，因为如果这样的话，
这个数学体系就不可能不具有内在矛盾，就会遭到淘汰。但
是，徜若你能作出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如
此又非如此的话，又将怎么样呢？
假如我说：“我现在所说的是假话”。
是假话吗？如果是假话，那么，我在说假话这件事就是
假的了，因此，我必定在说真话。如果我在说真话，那么我
在说假话这件事就是真的了，因此，我确实在说假话。我可
以永无休止地来回这样说，结果，将永远无法证明我所说的
到底是如此，还是并非如此。
假如你能对这些逻辑公理进行调整，以排除上面所说的
这种可能性，那么，你能不能找到另外的方法来作出这样一
种既是如此，又非如此的说法？
１９３１年，一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有
力的证明，他指出，对于任何一组公理，你都能作出既不能
根据这些公理来证明事实确是如此，也不能根据这些公理来
证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲，任何人都不可
能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公
理。
某些稱為“公理”的陳述出發，推導出各種有用的結論。
從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規則
的遊戲。第一，公理應當儘量少。如果你能從某一條公理推
匯出另一條公理，所麼，所推導出的那條公理就不能作為公
理。第二，公理必須是沒有內在矛盾的。絕不允許從某一公
理推導出兩個相互矛盾的結論。
任何一本中學幾何課本都要先列出一組公理：通过两点
只能作一条直线；整体等于各个部分之和，等等。在很长一
段时间内，人们都把欧几里得的公理看作是唯一可用来建立
没有内在矛盾的几何学的公理，从而把这些公理看作是“真
公理”。
但是，到了十九世纪，有人证明了欧几里得的公理是可
以用某些方式来加以改变的，因而可以建立另外一种不同的
几何学，即“非欧几里得几何学”。这两种几何学虽然各不
相同，但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后，人们
如果要问哪一种几何学是真几何学，就没有意义了。如果要
问，就只能问哪一种几何学更有用些。
事实上，我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但
又各自并不具有内在矛盾的数学体系。
在任何一种这样的数学体系中，你都必定不可能根据它
的公理推导出既是如此又非如此的结论，因为如果这样的话，
这个数学体系就不可能不具有内在矛盾，就会遭到淘汰。但
是，徜若你能作出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如
此又非如此的话，又将怎么样呢？
假如我说：“我现在所说的是假话”。
是假话吗？如果是假话，那么，我在说假话这件事就是
假的了，因此，我必定在说真话。如果我在说真话，那么我
在说假话这件事就是真的了，因此，我确实在说假话。我可
以永无休止地来回这样说，结果，将永远无法证明我所说的
到底是如此，还是并非如此。
假如你能对这些逻辑公理进行调整，以排除上面所说的
这种可能性，那么，你能不能找到另外的方法来作出这样一
种既是如此，又非如此的说法？
１９３１年，一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有
力的证明，他指出，对于任何一组公理，你都能作出既不能
根据这些公理来证明事实确是如此，也不能根据这些公理来
证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲，任何人都不可
能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公
理。